職稱論文發(fā)表網(wǎng)基于Matlab的考試數(shù)據(jù)

　　摘要：介紹了統(tǒng)計(jì)分析方法中的主成分分析法，對(duì)考生考試成績(jī)數(shù)據(jù)利用matlab軟件進(jìn)行了主成分分析，得出了數(shù)據(jù)的主成分和綜合評(píng)價(jià)函數(shù)， 并結(jié)合學(xué)生成績(jī)進(jìn)行分析，了解到了每個(gè)考生在數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)上有哪些優(yōu)勢(shì)和不足，從而為改善學(xué)習(xí)方法和提高學(xué)習(xí)成績(jī)方面的提供重要參考。

　　關(guān)鍵詞：主成分分析;考生考試數(shù)據(jù);matlab軟件　電子期刊

　　1 概述

　　考試是用來(lái)教學(xué)評(píng)價(jià)和檢查考生學(xué)習(xí)情況的基本手段，但每一次考試帶給我們的信息，絕不僅僅是每個(gè)考生的具體得了多少分?jǐn)?shù)。其實(shí)我們還可以了解到更多考生的學(xué)習(xí)情況，那么我們就需要對(duì)批改試卷產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，根據(jù)分析結(jié)果得到的結(jié)論，能夠?yàn)榻虒W(xué)和學(xué)習(xí)提供參考，從而能不斷改進(jìn)我們教學(xué)和學(xué)習(xí)工作。

　　對(duì)試卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)試卷各試題之問(wèn)往往存在一定的相關(guān)性，即有些題目考察了相似的知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn)，對(duì)得到的數(shù)據(jù)不進(jìn)行任何處理就進(jìn)行分析，勢(shì)必會(huì)把試卷分析的變得復(fù)雜化.就不容易抓住數(shù)據(jù)的主要規(guī)律并對(duì)事物的性質(zhì)做出準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)。因此，我們需要把原來(lái)的指標(biāo)轉(zhuǎn)化為一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)互相獨(dú)立的綜合指標(biāo)來(lái)達(dá)到分析的目的。該文講的主成分分析法就是能達(dá)到這種目的的統(tǒng)計(jì)分析方法。

　　2 主成分分析的基本原理

　　2.1 主成分分析的基本思想[1]

　　主成分分析首先是Hotelling于1933年時(shí)提出的。主成分分析是一種利用數(shù)學(xué)思想達(dá)到降低維數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法，即通過(guò)找出幾個(gè)綜合指標(biāo)來(lái)代替眾多的原始指標(biāo)， 并盡可能多的反映原始數(shù)據(jù)所提供的信息量，而且彼此之間相互獨(dú)立。主成分分析所要做的內(nèi)容就是要設(shè)法把原來(lái)具有一定相關(guān)性的眾多變量，重新組合成一組新的相互獨(dú)立的綜合變量來(lái)代替原來(lái)變量，通常數(shù)學(xué)上的處理方法就是將原來(lái)的變量做線性組合，作為新的綜合變量，但這種組合如果不加以限制，就會(huì)有很多情況，那么我們?nèi)绾芜x擇呢?如果將選取的第一個(gè)線性組合作為第一個(gè)綜合變量記為[F1]，那么我們自然希望它能盡可能地反應(yīng)原來(lái)變量的信息，這里我們把包含“信息”的多少用方差來(lái)測(cè)量，即[Var(F1)]越大，表示[Y1]包含的信息越多。

　　因此所選取的[F1]應(yīng)該是所有的線性組合中方差最大的，我們把[F1稱為]第一主成分。如果第一主成分不能夠代表原來(lái)多個(gè)變量的基本信息，那么就再選取第二個(gè)線性組合[F2]，為了有效的反應(yīng)原來(lái)信息，[F1]已有的信息就不需要再出現(xiàn)在[F2]中，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是要求[CovF1，F(xiàn)2=0]，我們把[F2稱]為第二主成分，依此類(lèi)推，可以得到出第三、第四……第[p]個(gè)主成分。

　　2.2 主成分分析的基本理論[2]

　　設(shè)研究某一事物時(shí)涉及到[p]個(gè)變量，我們分別用[X1，X2，…，XP]表示，[X=(X1，X2，…，XP)T為]這[p]個(gè)指標(biāo)構(gòu)成的[p]維隨機(jī)向量。設(shè)隨機(jī)向量[X]均值[EX]和協(xié)方差陣[DX]分別為[μ]和Σ。對(duì)[X]進(jìn)行線性變換，即可得到新的綜合變量，它可由原來(lái)的變量線性表示，即滿足下式：

　　[Yi=μTiX=μ1iX1+μ2iX21+…+μpiXpi=1，2，…，p ] (1)

　　易見(jiàn) [VarYi=μTiμi，CovYi，Yj=μTiμj，(i，j=1，2，…，p)]

　　定義1 設(shè)[X=X1，X2，…，XPT] 為[P]維隨機(jī)向量。稱[Yi=μTiX] 為[X] 的第[i]主成分[i=1，2，…，p，如果：]

　　[μTiμi]=[μ21i+μ21i+…+μ21i=1，i=1，2，…，p] (2)

　　[CovYi，Yj=0]，[i≠j， i，j=1，2，…，p，即Yi與Yj不相關(guān)] (3)

　　[VarY1?VarY2?…?VarYp] (4)

　　從這個(gè)定義1，我們可以知道主成分是原來(lái)[p]個(gè)原始變量進(jìn)行特殊線性組合構(gòu)成的. 那么， 我們?nèi)绾蝸?lái)求主成分呢? 一般地， 我們有：

　　定理 2 設(shè)[X=X1，X2，…，XPT] 為[P]維隨機(jī)向量。且[D(X)=Σ]， [Σ] 的特征值為 [λ1≥λ2?…≥λp>0，] [α1，α2，…，αp]為相應(yīng)的單位正交特征向量，

　　則[X]的第[i]主成分為[Fi=αTiX i=1，2，…，p]

　　從這個(gè)定義2，我們了解到要求[X]的第[i]主成分，必須首先求出[X]方差的第[i]大特征值和相應(yīng)的單位正交特征向量。

　　2.3 主成分分析的分析步驟[3]

　　設(shè)研究某一事物涉及[到p]個(gè)變量，每個(gè)變量都有[n]個(gè)數(shù)據(jù)。那么我們就可以得到一個(gè)[n×p]階的矩陣，將其記為

　　[X=xijnm=x11…x1p???xn1…xnp]=[X1，X2，...，Xp]

　　1)對(duì)矩陣[X]進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理

　　[xij=xij-xjσj]，[i=1，2，...，n;j=1，2，...，p]，

　　其中[xj=1ni=1nxij]，[σj=1ni=1nxij-xij2] ，

　　得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣仍記為

　　[X=xijnm=x11…x1m???xn1…xnm]

　　[Xi=x1i，xni，...xniT，i=1，2，...，p]

　　2) 求標(biāo)準(zhǔn)化后矩陣的相關(guān)系數(shù)矩陣：

　　[R=r11…r1n???rp1…rpn]=[1nXTX]

　　其中，[rij=1ni=1nxijxik=1nXiTXk]，[j，k=1，2，...，p]

　　3) 求相關(guān)系數(shù)矩陣[R]的特征值[λi]和相應(yīng)的特征向量[αi]

　　4) 確定要選取的主成分個(gè)數(shù)，我們稱[λkk=1pλk]為第[k]個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率，記為[ρk]，稱[k=1mλkk=1pλk]為前[m]個(gè)主成分的累積貢獻(xiàn)率。當(dāng)前[m]個(gè)主成分累積貢獻(xiàn)率超過(guò)[83%]時(shí)，取前[m]個(gè)主成分代替原來(lái)的[p]個(gè)指標(biāo)。

　　5) 求各主成分載荷[βi=λiαi]以及主成分載荷矩陣，再計(jì)算各主成分的得分函數(shù)[Fi=αiXi，i=1，2，...，m]

　　6) 把各變量的原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后代入各主成分方程中，求得綜合評(píng)價(jià)值[F=ρ1F1+ρ2F2+...+ρmFm]進(jìn)行分析評(píng)價(jià)。

　　3 應(yīng)用主成分分析法分析考生成績(jī)[4-5]

　　3.1 選取主成分和構(gòu)造綜合評(píng)價(jià)函數(shù)

　　以貴陽(yáng)某中學(xué)的一個(gè)班在高三模擬考試中的數(shù)學(xué)選擇題的得分情況的數(shù)據(jù)為例.運(yùn)用主成分分析法對(duì)考生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析。該班一共有50名考生。高中數(shù)學(xué)選擇題共12題，每題5分，將數(shù)學(xué)選擇題每個(gè)題目分別用[X1]、[X2]、[…]、[X12]。來(lái)表示，用[xij]表示第i個(gè)考生在數(shù)學(xué)選擇題第j題上的得分，則這樣就得到了一個(gè)[X=(xij)50×12]的矩陣，因此我們可以借助matlab主成分分析程序?qū)@個(gè)矩陣進(jìn)行主成分分析，得到下列結(jié)果：

　　根據(jù)主成分分析的相關(guān)理論，在選取主成分時(shí)，只需要將特征值從小到大排列，選取前[m]個(gè)累計(jì)貢獻(xiàn)率超過(guò)83%的主成分即可，通過(guò)上面表格和圖形的顯示的累計(jì)貢獻(xiàn)率可知，我們只需要選取5個(gè)主成分，從上面累積貢獻(xiàn)率情況可知我們選取的這5個(gè)主成分是可以反映全部指標(biāo)的基本信息，所以可以用這5個(gè)新變量來(lái)代替原來(lái)的12個(gè)變量。根據(jù)前面講到的定理2我們可以得到選擇題的5個(gè)主成分公式，如下所示：

　　[F1=0.1932X1+0.1359X2+0.3402X3+0.2662X4+0.1254X5+0.2944X6 +0.2828X7+0.2454X8+0.5176X9+0.4098X10+0.2061X11+0.1915X12]

　　[F2=0.5196X1+0.5343X2+0.4956X3+0.2918X4-0.3985X5-0.4281X6 +0.3391X7-0.1558X8-0.1008X9+0.3771X10-0.3291X11-0.1933X12]

　　[F3=-0.0117X1-0.1687X2+0.1733X3-0.2693X4-0.3008X5+0.0588X6 +0.3456X7+0.5041X8-0.2919X9-0.2080X10-0.1174X11+0.5090X12]

　　[F4=-0.0802X1-0.0883X2+0.3429X3-0.0951X4-0.4928X5+0.5271X6 +0.0005X7-0.1161X8+0.1591X9-0.1941X10-0.2019X11-0.2702X12][F5=0.0993X1+0.1617X2+0.2707X3-0.0251X4+0.1000X5+0.1639X6 -0.3226X7-0.4542X8+0.0146X9+0.0011X10-0.4819X11+0.5571X12]

　　根據(jù)主成分分析的分析步驟的第6步可得到選擇題綜合評(píng)價(jià)函數(shù)：

　　[F=0.1894X1+0.1578X2+0.3443X3+0.0904X4-0.1792X5+0.0873X6 +0.1840X7+0.0356X8+0.1024X9+0.1524X10-0.1397X11+0.1210X12]

　　3.2 選擇題主成分分析

　　3.2.1 各題目重要性比較

　　通過(guò)圖1，我們可以知道變量[X1]、[X2]、[X3]、[X7]、[X8]、 [X9]、[X12]所對(duì)應(yīng)的題目要高于平均重要性，而變量[X4]、[X5]、[X6]、[X8]、[X11]所對(duì)應(yīng)的題目重要性要低于平均重要性(0.0955)。

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