教師論文小學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)放題問(wèn)題解決的模型

　　本篇教師論文探討小學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)放題問(wèn)題解決的模型。 《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》是中國(guó)教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)會(huì)刊。該刊創(chuàng)辦以來(lái)，密切配合基礎(chǔ)教育的中心工作和中國(guó)教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)的研究課題，交流小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)提高我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量起到了積極的推動(dòng)作用，受到廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師、教研員的歡迎。

　　開(kāi)放題是極富教育價(jià)值的一種數(shù)學(xué)問(wèn)題的題型,它的出現(xiàn)不僅是社會(huì)發(fā)展的產(chǎn)物，也是數(shù)學(xué)文化發(fā)展的產(chǎn)物。指向?qū)W生建構(gòu)相應(yīng)的開(kāi)放題問(wèn)題解決的模型，能夠開(kāi)啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究的新天地，能夠使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達(dá)到最優(yōu)化的境地。“模型解題法”是我國(guó)最優(yōu)秀的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶之一，它抓住了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)規(guī)律，讓學(xué)生在“抓題型、套模型、出結(jié)果”等學(xué)習(xí)研究中，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效益的最大化。用活開(kāi)放題問(wèn)題的模型，不僅能促進(jìn)知識(shí)的積淀、經(jīng)驗(yàn)的積累，更能促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新求異能力。

　　【關(guān)鍵詞】開(kāi)放題;解決問(wèn)題的模型;數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

　　《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》明確指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。”從中不難看出，在知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)等應(yīng)用過(guò)程中模型建構(gòu)與模型運(yùn)用將成為學(xué)生解決問(wèn)題的制勝法寶，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效策略之一。開(kāi)放題問(wèn)題的研究與探索是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、綜合素養(yǎng)的有效路徑。同時(shí)，如能引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)對(duì)應(yīng)的解決問(wèn)題的模型，不僅能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和解決問(wèn)題的效率，更能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，拓展學(xué)生的視野，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、解決問(wèn)題變成一種的快樂(lè)體驗(yàn)之旅。

　　一、把握準(zhǔn)條件類(lèi)開(kāi)放問(wèn)題

　　數(shù)學(xué)開(kāi)放題是相對(duì)傳統(tǒng)的封閉題(條件完備、結(jié)論確定)而言的，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果它的條件不完全確定、答案選擇不唯一，或者解決問(wèn)題的方法與策略也具有多樣性，那么，它就是一個(gè)開(kāi)放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這類(lèi)習(xí)題的核心是發(fā)展學(xué)生的開(kāi)放性思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)求異，學(xué)會(huì)創(chuàng)造，從而實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)、豐厚數(shù)學(xué)能力的基本夙愿。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，在指向?qū)W生研究開(kāi)放性問(wèn)題的過(guò)程中，要關(guān)注學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)積累，幫助學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中掌握基本的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題解決的方法便捷、高效。其中，指向?qū)W生建構(gòu)條件類(lèi)開(kāi)放問(wèn)題的解決模型就是一種明智之舉。

　　1. 明晰條件不足的開(kāi)放題

　　數(shù)學(xué)開(kāi)放題的編制方法是千變?nèi)f化的，其中條件不足就是較為典型的一類(lèi)。因此，教師需要幫助學(xué)生領(lǐng)悟把握這類(lèi)習(xí)題的特點(diǎn)，使思考更具靶向性，從而加速學(xué)習(xí)的推進(jìn)。

　　如，把鐘面上的數(shù)分成兩部分，使它們的差為0。這就是一道典型的條件不足的開(kāi)放題，在教學(xué)指向中，一方面要求學(xué)生知曉鐘面數(shù)字的特點(diǎn)，另一方面還得明晰習(xí)題的根本要求，把鐘面上的12個(gè)數(shù)分成兩部分，保證兩部分的和相等，這樣才能達(dá)成差為0 的基本要求。明確解答的思路：1+2+3+4+…+12=78，應(yīng)該分成兩組數(shù)的和分別等于39。因此，學(xué)生應(yīng)掌握其中條件不充足的基本模型，從1~12這十二個(gè)數(shù)中取出其中的若干個(gè)數(shù)，使它們的和是39。

　　2. 理解條件弱化的開(kāi)放題

　　弱化陳題的條件，使其結(jié)論多樣化，也是編制開(kāi)放題的基本模型之一。指向?qū)W生把握該類(lèi)題目的特征，也會(huì)達(dá)成訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維、發(fā)展數(shù)學(xué)能力的基本目的。

　　如，利用上述問(wèn)題(鐘面數(shù)字問(wèn)題)的范式，弱化一些條件，幫助學(xué)生建構(gòu)對(duì)應(yīng)的解題模型，形成可靠的解題經(jīng)驗(yàn)。“在一個(gè)藍(lán)色星球上，那里每天只有18個(gè)小時(shí)。你能把鐘面上的數(shù)也分成兩份，使它們的差為0嗎?”問(wèn)題條件的變化，目的不是解答，而是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、比較問(wèn)題，并能夠進(jìn)行知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的鏈接，促進(jìn)數(shù)學(xué)視角的拓展，從而延展學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，豐厚知識(shí)儲(chǔ)備，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有所發(fā)展。

　　3. 掌握條件變化的開(kāi)放題

　　開(kāi)放題不是無(wú)根之水，也不是海市蜃樓，而是與實(shí)際生活緊密聯(lián)系的具體問(wèn)題。教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系，學(xué)會(huì)積極的聯(lián)想，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為體系。

　　如，仍然是上述的鐘面數(shù)字的問(wèn)題，進(jìn)行變換條件，使之延展開(kāi)來(lái)。12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 =21，添上合適的符號(hào)使等式成立。這個(gè)問(wèn)題既可以看成鐘面問(wèn)題的模仿題，也可以看作是鐘面數(shù)字問(wèn)題的延伸，其目的不是一味地讓學(xué)生學(xué)會(huì)解答，而是建模，形成經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

　　總之，通過(guò)既有問(wèn)題(陳題)的條件改造，使之成為開(kāi)放題，從而豐富學(xué)生感知，促進(jìn)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、解題經(jīng)驗(yàn)的整合與發(fā)展，真正促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

　　二、理解準(zhǔn)結(jié)論類(lèi)開(kāi)放問(wèn)題

　　結(jié)論類(lèi)開(kāi)放題就是指在一定的條件下，可以是既滿(mǎn)足條件，且所得結(jié)果的意義相同的問(wèn)題，也可以是提供一定的條件，滿(mǎn)足條件的答案有多個(gè)的題型。指向?qū)W生理解準(zhǔn)這類(lèi)開(kāi)放題的解題模型，就是幫助學(xué)生進(jìn)一步理解這類(lèi)習(xí)題的分析方法、解答方法，促使學(xué)生積淀對(duì)應(yīng)的解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，形成敏捷的解決問(wèn)題的思維。

　　1. 理解透不同問(wèn)題同一結(jié)果的開(kāi)放題

　　如，一艘貨船和一艘客船同時(shí)從相距876千米的A、B兩港口相對(duì)開(kāi)出?？痛?biāo)叫?，每小時(shí)行駛38千米;貨船則逆水航行，每小時(shí)行駛35千米。

　　①經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后兩艘船在途中相遇?

　?、诳痛_(kāi)出幾小時(shí)后兩艘船相遇?

　?、圬洿旭偠嗌傩r(shí)才能遇到客船?

　　題目中看似三個(gè)不同的問(wèn)題，但不難發(fā)現(xiàn)這一組問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)相同，解答過(guò)程相同，結(jié)論也相同。這類(lèi)習(xí)題的訓(xùn)練目的就是指向?qū)W生學(xué)會(huì)辨析，學(xué)會(huì)把握問(wèn)題的本質(zhì)：“相遇時(shí)間=總路程÷速度和”。進(jìn)而幫助學(xué)生進(jìn)一步理解“速度和”的概念，領(lǐng)悟這類(lèi)問(wèn)題的基本架構(gòu)，形成對(duì)應(yīng)的解題模式，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，并在訓(xùn)練中提升學(xué)生的思維感悟力。

　　2. 掌握好同一問(wèn)題不同結(jié)果的開(kāi)放題

　　結(jié)果多樣化的開(kāi)放題是最值得教師們推崇的一類(lèi)習(xí)題。這類(lèi)習(xí)題不僅能開(kāi)闊學(xué)生的視野，更能激活學(xué)生的多維感知力，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

　　如，小明和小華到學(xué)校都是直的公路，一天，他們同時(shí)從家中出發(fā)到學(xué)校。小明每分鐘走60米，小華每分鐘走70米。經(jīng)過(guò)20分鐘兩人同時(shí)到達(dá)學(xué)校，他們兩家相距多少米?粗看一下，學(xué)生有熟悉感，解答過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題。但解答中會(huì)出現(xiàn)答案唯一的現(xiàn)象，因此，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考就成為訓(xùn)練的重點(diǎn)，促使建構(gòu)對(duì)應(yīng)的解題模型就成為難點(diǎn)。指向?qū)W生聯(lián)系已經(jīng)解答過(guò)的類(lèi)似習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生辨別其中的差異，學(xué)生就會(huì)把握準(zhǔn)該題的要點(diǎn)，從而能較為科學(xué)地把握住這類(lèi)習(xí)題的基本結(jié)構(gòu)：

　?、賰杉液蛯W(xué)校在一直線(xiàn)上，并且在學(xué)校的兩邊。60×20+70×20=2600(米)。

　?、趦杉液蛯W(xué)校在一直線(xiàn)上，且在學(xué)校同一方向的一邊。70×20-60×20=200(米)。

　?、蹆杉液蛯W(xué)校不在一直線(xiàn)上。那么兩家的距離就一定小于2600米，大于200米。

　　由此可以看出，開(kāi)放題的結(jié)論可能是一樣，也可能是多元化的。這就需要教師在解題訓(xùn)練中不能只盯住答案，而要著力于學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的積累，幫助學(xué)生建構(gòu)解題模型，有效地促進(jìn)學(xué)習(xí)思維的提升。

　　三、吃透策略類(lèi)開(kāi)放問(wèn)題

　　解決開(kāi)放題也需要掌握一定的技巧與策略。因此，吃透一些常規(guī)性的策略類(lèi)開(kāi)放題的解決方法，就成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)之一。同時(shí)，這一過(guò)程不僅能擴(kuò)展學(xué)習(xí)的儲(chǔ)備，更能促進(jìn)學(xué)習(xí)建模，使學(xué)習(xí)效率大幅度提升。

　　1. 知曉常規(guī)策略的開(kāi)放題

　　指向?qū)W生學(xué)會(huì)根據(jù)問(wèn)題的條件去進(jìn)行分析、推理、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，就一定能感悟到或掌握好解決問(wèn)題的常規(guī)途徑、手段，豐厚解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿(mǎn)情趣，更閃爍著智慧的光芒。

　　如，在第一個(gè)話(huà)題中遇到的“鐘面數(shù)字問(wèn)題”，如果任憑學(xué)生自主思考，自主揣摩，盡管學(xué)生獲得答案的途徑呈現(xiàn)出多元化的格局，但對(duì)學(xué)生的有序思考的訓(xùn)練、思維的嚴(yán)密性等層面的訓(xùn)練將會(huì)出現(xiàn)較為尷尬的局面。因此，指向?qū)W生掌握必要解決問(wèn)題的模型，把握準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的解題策略，無(wú)疑能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)步入到“百尺竿頭更進(jìn)一步”的理想境地。

　　題中要求“差為0”，這就說(shuō)明要把12個(gè)數(shù)分成兩部分，每一部分的和都是39。為防止遺漏和重復(fù)，就得幫助建構(gòu)“取數(shù)時(shí)遵循由大到小”的數(shù)學(xué)模型，使思考過(guò)程更加嚴(yán)密。首先，取其中最大的三個(gè)數(shù)，12+11+10=33，發(fā)現(xiàn)是小于39，所以至少要去4個(gè)數(shù)。這樣就獲得最基本的四組數(shù)：(12，11，10，6) (12，11，9，7) (12，10，9，8)。然后，指向?qū)W生學(xué)會(huì)由4個(gè)數(shù)推廣到5個(gè)數(shù)、6個(gè)數(shù)等，這樣就會(huì)獲得(12，11，10，5，1) (12，11，10，4，2) (12，11，9，6，1)……最終，通過(guò)學(xué)生的集思廣益，我們會(huì)得到124個(gè)解答。

　　幫助學(xué)生建立這樣的解題模型，不僅能優(yōu)化學(xué)習(xí)，更能保證學(xué)生有序思維能力得到長(zhǎng)足的發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展。

　　2. 了解非常規(guī)策略的開(kāi)放題

　　非常規(guī)策略的開(kāi)放題就是指那些超越教材的常規(guī)解題思路或基本經(jīng)驗(yàn)的習(xí)題，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)使用非常規(guī)思路、方法等去研究問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)會(huì)求異，學(xué)會(huì)創(chuàng)新。

　　如，有36名學(xué)生去公園劃船。船價(jià)顯示：每人票價(jià)8元，如果滿(mǎn)40人可以享受團(tuán)體票價(jià)—八折優(yōu)惠。算一算，用最合算的方法去購(gòu)票需要付多少錢(qián)?這類(lèi)習(xí)題就超越了常規(guī)的經(jīng)驗(yàn)，在購(gòu)票過(guò)程中不是買(mǎi)36張，而是賣(mài)40張，盡管多賣(mài)了，但實(shí)際卻少用了32元。

　　綜合上述兩個(gè)案例，它清楚地顯示了指向?qū)W生掌握基本策略和非常規(guī)策略等解決問(wèn)題的模型，能夠加速思考的深入，有效地改進(jìn)練習(xí)的狀態(tài)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)徜徉在幸福與快樂(lè)之中。

　　四、挖掘準(zhǔn)綜合類(lèi)開(kāi)放問(wèn)題

　　綜合開(kāi)放題中的條件、問(wèn)題、策略等基本都是多元化的，這就要求學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)儲(chǔ)備、經(jīng)驗(yàn)、技能等去假設(shè)和尋找，并在此基礎(chǔ)上去探索解決問(wèn)題的路徑，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破。

　　如，在一塊100平方米的花圃中種上一半的郁金香，你會(huì)怎么設(shè)計(jì)圖案呢?這是一道開(kāi)放度極大的習(xí)題，首先，要求學(xué)生想像出自己心目中的花圃;其次，還要構(gòu)思一半面積的構(gòu)成;第三，還要進(jìn)行簡(jiǎn)單的驗(yàn)證。我們?cè)?jīng)在五年級(jí)學(xué)生中做過(guò)簡(jiǎn)單的測(cè)試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生給出了近30種圖案。由此可見(jiàn)，指向?qū)W生挖掘準(zhǔn)綜合類(lèi)的開(kāi)放題，能夠開(kāi)啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新的一扇窗戶(hù)。

　　開(kāi)放題是極富教育價(jià)值的一種數(shù)學(xué)問(wèn)題的題型，它的出現(xiàn)不只是訓(xùn)練的需要，更是學(xué)生的發(fā)展的需要，也是時(shí)代呼喚的結(jié)果。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)適度地引入開(kāi)放題教學(xué)，通過(guò)開(kāi)放題多樣性、探索性、層次性等特點(diǎn)為學(xué)生運(yùn)用知識(shí)、技能提供訓(xùn)練場(chǎng)，為學(xué)生發(fā)揮各自的想象，達(dá)到數(shù)學(xué)思想、方法等得以順利交流的學(xué)習(xí)目的。并指向?qū)W生掌握必要的開(kāi)放題解題模型，以較大限度地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，訓(xùn)練學(xué)生的開(kāi)放思維、集中思維、逆向思維等，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

　　總之，通過(guò)開(kāi)放題解題模型的建構(gòu)，能夠促使學(xué)生掌握更科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，促使學(xué)生具備舉一反三的能力，也能讓每一個(gè)孩子都能學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，愛(ài)上學(xué)習(xí)。同時(shí)，教師還應(yīng)積極地營(yíng)造訓(xùn)練的氛圍，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，逐步使之成為一種新的文化，并根植于具有中國(guó)特色的數(shù)學(xué)文化中，綻放它的光彩。

《教師論文小學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)放題問(wèn)題解決的模型》

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