國家級教育論文征稿淺析線性代數(shù)的解讀

　　摘 要 針對降低線性代數(shù)學(xué)習(xí)難度的問題，文章提出在學(xué)習(xí)線性代數(shù)過程中靈活構(gòu)造反例以解決問題的思路。通過文獻研究法和經(jīng)驗總結(jié)法，討論線性代數(shù)中適合運用反證法研究的定義和定理等問題，結(jié)合實例指出如何在學(xué)習(xí)線性代數(shù)過程中合理構(gòu)造反例以理解和掌握理論本質(zhì)。分析發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造反例可為定義的理解、定理的掌握和命題的正誤判斷提供簡捷的思路，提高學(xué)習(xí)效率。

　　關(guān)鍵詞 線性代數(shù) 反例構(gòu)造 定義 定理

　　0 引言

　　線性代數(shù)以線性空間為研究對象，涉及行列式、矩陣、矩陣的初等變換與線性方程組等，定義、定理、性質(zhì)、推論等比較多，難度較大。但是學(xué)習(xí)線性代數(shù)具有很大益處，一方面可以進一步提高抽象思維能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力，為進一步學(xué)習(xí)和研究打下堅實的理論基礎(chǔ);另一方面為立志報考研究生的同學(xué)提供必要的線性代數(shù)理論知識、解題技巧和方法。并且，線性代數(shù)作為一種數(shù)學(xué)建模方法，是科研工作者必須掌握的重要數(shù)學(xué)方法。

　　由此可見，線性代數(shù)的內(nèi)容抽象性以及應(yīng)用重要性，要求學(xué)習(xí)者能夠靈活運用數(shù)學(xué)方法理解線性代數(shù)中的問題。當(dāng)從正面解決線性代數(shù)問題比較困難時，構(gòu)造反例不失為一種良好的方法。構(gòu)造反例能夠幫助學(xué)習(xí)者正確理解抽象的概念定義和定理內(nèi)容，促進學(xué)習(xí)者對線性代數(shù)內(nèi)容的快速掌握和熟練應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)效率并幫助取得有效的學(xué)習(xí)成果。通過具體實例探析構(gòu)造反例在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的運用。

　　1 反例

　　數(shù)學(xué)中的反例指符合命題條件，而不符合該命題結(jié)論的例子。所構(gòu)造的反例是建立在數(shù)學(xué)上已證實的理論與邏輯推理基礎(chǔ)上的、并可指出命題不成立的例子。在學(xué)習(xí)線性代數(shù)過程中，可根據(jù)定義、定理以及命題構(gòu)造反例以幫助理解理論本質(zhì)，促進取得學(xué)習(xí)成果。

　　2 構(gòu)造反例利于掌握定義

　　線性代數(shù)中的定義凝練、精確，內(nèi)涵豐富。真正透徹理解并牢固掌握這些定義，需要學(xué)習(xí)者把定義本身的簡短話語擴展，從多方面思考，提煉定義本質(zhì)。

　　(1)定義：設(shè)是由復(fù)數(shù)組成的集合，其中包含0和1。如果中的任意兩個數(shù)(可相同)對加、減、乘、除四種代數(shù)運算是封閉的，那么就稱為一個數(shù)域。

　　此定義可以擴展出多個結(jié)論，下面示范如何運用構(gòu)造反例的方法將易混淆的結(jié)論分辨清楚。

　　例1 整數(shù)集是數(shù)域。

　　此結(jié)論不正確。整數(shù)集合中取兩個數(shù)2和7，互相進行除法運算會產(chǎn)生分?jǐn)?shù)，不在此集合內(nèi)，故整數(shù)集不是數(shù)域。

　　例2 奇數(shù)集是數(shù)域

　　此結(jié)論不正確。奇數(shù)集合中取兩個數(shù)3和7，兩者減法運算的結(jié)果4不在奇數(shù)集合中，故奇數(shù)集不是數(shù)域。

　　(2)定義： 給定維向量組， ，…，，若存在一組不全為零的實數(shù)， ，…，，使得 + + … + = 0，則稱， ，…，線性相關(guān);否則，稱線性無關(guān)。

　　簡短幾句話，即定義了這個重要的概念。為加深理解，現(xiàn)通過構(gòu)造反命題的方法來理解這個定義。

　　例1 若有不全為零的個數(shù)， ，…，，使 + + … + + + + … + = 0，則向量組， ，…，線性相關(guān)，向量組， ，…，線性相關(guān)。

　　此結(jié)論不正確。例如取 = (0，1) ， = (1，0)， = (0，-1)， = (-1，0)，顯然存在，不全為零，使得 + + + = 0。但，線性無關(guān)，， 線性無關(guān)。

　　例2 如果，，…，線性無關(guān)，， ，…，線性無關(guān)，則， ，…，， ， ，…，亦線性無關(guān)。

　　此結(jié)論不正確。例如取 = (0，1) ， = (1，0) ， = (0，-1)， = (-1，0)，，線性無關(guān)，，線性無關(guān)。但取 = = 1，則 + + + = 0，故可得，，，線性相關(guān)。

　　例3 設(shè)，，…，和，…，是兩個維向量組，如果(+ )+( + )+…+( + )=0成立必需=0，=0，…，=0，則，，…，和，，…，定線性無關(guān)。

　　此結(jié)論不正確。例如取 = (0，1) ， = (1，0) ， = (0，2)， = (2，0)， + = (0，3)， + = (3，0)，則( + ) + ( + ) = 0成立必需 = 0， = 0。但2 + 2= 0，故，，，線性相關(guān)。

　　上述反例不僅給出對結(jié)論的判斷，而且加深學(xué)習(xí)者對數(shù)域和線性相關(guān)性定義的理解，避免再出現(xiàn)此類認(rèn)識上的錯誤。

　　3 構(gòu)造反例利于理解定理

　　在學(xué)習(xí)過定義的基礎(chǔ)上，掌握相應(yīng)的定理，才能夠更好地解決線性代數(shù)中的各種問題。學(xué)習(xí)者會發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)定理特點顯著，存在某些規(guī)律不同于其他數(shù)學(xué)科目定理的現(xiàn)象。因此，只有掌握線性代數(shù)定理的本質(zhì)，才能熟練運用與解題。而運用反例恰有利于我們解決這一問題。

　　(1)定理：在矩陣的乘法中消去律不成立，在矩陣的乘法中消去律不成立，即由AX=AY不能得出矩陣X與矩陣Y相等。

　　自學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科以來，接觸到的乘法運算都是滿足消去律的。學(xué)習(xí)線性代數(shù)后，此處矩陣卻不滿足消去律。思考后發(fā)現(xiàn)，其根本原因是矩陣乘法特殊的運算規(guī)則，即前一個矩陣的行與后一個矩陣的列中元素對應(yīng)相乘。直接理解這一原因比較困難，故運用舉反例的方法解決這一問題。

　　例1 若AB=AC，且A≠0，則B=C。

　　此命題不正確。例如取，滿足A ≠ 0，，。雖然AB=AC，但是B≠C。

　　例2 A2 = A，則A= 0或A=E。

　　此命題不正確。例如取，則A2 =A，但A ≠ 0且A ≠ E。同理可知，由A(XY) = 0，不能得出X =Y的結(jié)論。

　　看到這樣簡單的反例，以上易犯的錯誤被一舉擊破，學(xué)習(xí)者一目了然，有效避免慣常錯誤。同時，也激發(fā)學(xué)習(xí)者繼續(xù)思考矩陣運算中消去律成立的條件。進而研究得出使AB=AC B=C的條件是A是可逆的。這樣的思考可增加學(xué)習(xí)者對問題研究的深度和廣度，訓(xùn)練學(xué)習(xí)者的主動思考能力，也增添了學(xué)習(xí)的趣味。

　　(2)定理：向量組， ，…，(m≥2) 線性相關(guān)的充要條件是組內(nèi)某一向量可由其余向量線性表示。例：如果向量組，，…，中某一向量不能被其余向量線性表示，則，，…，線性無關(guān)。

　　此結(jié)論不正確。取 = (0，0)，= (0，1)，即有不能被其余向量線性表示，但，卻相關(guān)。

　　4 構(gòu)造反例利于判斷命題真?zhèn)?/p>

　　要證明一個命題為假命題，只要構(gòu)造一個反例來說明命題不成立即可。所以，反例是滿足命題題設(shè)但不滿足命題結(jié)論的一個實例，構(gòu)造反例就是證明某個命題是假命題的一種方法。所構(gòu)造的反例要求簡單、明確、有說服力，從而才能快速準(zhǔn)確判斷命題真?zhèn)巍?/p>

　　(1)命題：若AB = 0，則A和B中必有一個為零矩陣。

　　此命題不正確的。例如取，，滿足AB = 0 ，但A和B均不是零矩陣。

　　(2)命題1：零陣的特征值為0，則特征值為0的矩陣都是零陣。

　　此命題不正確。例如的特征值為0，但是不是零矩陣。

　　命題2：單位陣的特征值為1，則特征值為1的矩陣都是單位陣。

　　此命題不正確。例如的特征值為1，但不是單位陣。

　　若學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中，能夠熟練構(gòu)造反例，則可節(jié)約做題時間，提高學(xué)習(xí)效率。

　　(3)命題： 矩陣A的任一特征向量所對應(yīng)的特征值是唯一的。為此提出以下結(jié)論：若矩陣A、B有不同的特征值，則不能對應(yīng)同一個特征向量。

　　此結(jié)論不正確。例如取，，A和B對應(yīng)的特征值是1和2 ，但它們有同樣的特征向量 (1，0)。這個反例直接給出了矩陣中特征值和特征向量的關(guān)系，即某一特征向量可對應(yīng)兩個矩陣的兩個不同的特征值，也明確了原命題中是一個矩陣的某一特征向量只對應(yīng)一個特征值。

　　(4)命題：等價向量組的秩是相等的。為此提出以下結(jié)論：如果，，…，和，，…，的秩相等，則兩個向量一定等價。

　　此結(jié)論不正確。例如?、瘢?(1，0，0，0)，=(0，1，0，0)，Ⅱ：=(0，0，1，0)，=(0，0，1，1)，其中向量組Ⅰ的秩是2，向量組Ⅱ的秩是2，但是Ⅰ與Ⅱ不等價。此反例直接指出原命題的逆命題不成立，無需繁瑣文字證明。

　　(5)命題：含有個未知數(shù)個方程的線性方程組

　　有解的必要條件是行列式

　　，但不是充分條件。

　　此命題正確。例如方程組，雖然行列式，但是此方程組無解。此時，這一反例恰當(dāng)?shù)貜娬{(diào)了命題中的“必要條件”，加深學(xué)生理解與記憶，以免判斷此類方程組是否有解時再出現(xiàn)錯誤。

　　以上幾個例子說明反例對抽象的線性代數(shù)理論中的命題結(jié)論給了必要的補充和完善，有利于學(xué)習(xí)者理解定理的本質(zhì)，達到靈活運用定理以輔助解題的目的。

　　5 結(jié)論

　　綜上所述，構(gòu)造反例是一個快速而無規(guī)則的探索性過程，對學(xué)習(xí)者有不可估量的裨益，適用于各個章節(jié)的理論當(dāng)中，在線性代數(shù)中的地位是不容忽視的。論文網(wǎng)站一方面，構(gòu)造反例有利于學(xué)習(xí)者準(zhǔn)確理解定義和定理，提高學(xué)習(xí)效率，促進養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯誤和解決問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣。另一方面，構(gòu)造反例有利于培養(yǎng)從多方面、多角度認(rèn)識問題和解決問題的習(xí)慣，增強思維敏捷性和思維判斷力。作為21世紀(jì)的大學(xué)生，應(yīng)當(dāng)積極培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力和獨立思考能力，尤其培養(yǎng)創(chuàng)造性思考能力。要達到培養(yǎng)這些能力的目的，應(yīng)當(dāng)重視構(gòu)造反例這一重要途徑。因此，在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中，應(yīng)當(dāng)合理構(gòu)造反例，以激發(fā)興趣、提高效率和廣開思路。

　　參考文獻

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