函數(shù)極值的理論及在高等數(shù)學中的應用研究

　　［摘要］隨著科學技術在跨領域發(fā)展過程中的應用，社會科學的綜合性使函數(shù)極值在經(jīng)濟領域有了更為廣泛的應用價值，在經(jīng)濟領域中，函數(shù)極值可以有效地解決一些不同條件下投入與產(chǎn)出之間的比例關系問題，可以讓最小的投資產(chǎn)出最大的回報，提升效率是函數(shù)極值發(fā)揮的一個重要價值，既保障了利潤最大化，同時又提升了效率，解決了實際的難題，具有現(xiàn)實社會意義。相關的經(jīng)濟問題轉(zhuǎn)化是用函數(shù)極值來解決，就需要對函數(shù)極值的理論及其在高等數(shù)學的應用進行更深入的研究和探索。在一元函數(shù)極值的基礎上，分析了其充要條件和相關定義，同時，在研究充重要條件和二元函數(shù)極值定義的基礎上，也進一步分析二元函數(shù)極值的定義及充要條件，并在此基礎上給出了一元函數(shù)極值及二元函數(shù)極值充要條件的證明。在研究中既運用了導數(shù)，又在討論函數(shù)的定義過程中引申了函數(shù)極值的充要條件，然后通過具體舉例分析的方式，探討企業(yè)最小投入增加企業(yè)利潤最大化等。

　?。坳P鍵詞］極大值；極小值；駐點；成本；利潤

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　　一、函數(shù)的極值

　　函數(shù)極值的分析，就是要基于一元函數(shù)極值和二元函數(shù)極值的相關定義，及其相關的必要條件和充分條件，進一步探索其應用價值。

　?。ㄒ唬┮辉瘮?shù)極值的定義

　　定義1：當y=（fx）在x0某一鄰域內(nèi)，則不同于x0的任意點x都有：（1）（fx）（fx0），那么稱（fx0）是（fx）的極小值，x0稱之為（fx）的極小值點。

　?。ǘ┖瘮?shù)極值存在的條件分析

　　1.必要條件定理若函數(shù)（fx）在x0可導，而且在x0處可以得到極值，那么f（′x0）=0。證明：假設（fx）在x0可導，（fx0）是極大值，由極大值定義知，在x0的某鄰域內(nèi)部，對于任意x≠x0，均有（fx）x0時，（fx）-（fx0）x-x0>0；那么當x0；那么當x>x0時，f′（x0）x0時，f′（x0）>0，那么（fx）在點x0可以得到極小值（fx0）；（3）若x從x0左側變化到右側時，f（′x0）不變號，那么（fx）在x0處無極值。

　　3.極值存在的第二充分條件定理假設（fx）在點x0的某領域內(nèi)部一階可導，而且f（′x0）=0，f（″x0）≠0（1）若f（″x）0，那么（fx）在x0可以得到極小值。證明：由于f（″x）0那么當x>x0時，f（′x）<0由以上分析可以知道，（fx0）是（fx）的極大值。

　　二、關于二元函數(shù)的定義和極值的分析

　　（一）定義

　　定義2：若函數(shù)（fx，y）在點M（0x0，y0）的某個領域內(nèi)部成立不等式（fx，y）≤（fx0，y0）那么稱（fx，y）在M0取到極大值（fx0，y0），點M（0x0，y0）稱之為函數(shù)（fx，y）的極大點；類似地，如在點M（0x0，y0）的某個鄰域內(nèi)部成立不等式（fx，y）≥（fx0，y0）那么稱（fx，y）在點M0取到極小值（fx0，y0），點M0稱之為函數(shù)（fx，y）的極小點。

　　從定義可見，若（fx，y）在點M0有一極值，那么，固定y=y0后的一元函數(shù)（fx0，y0）必在點x0有極值。則：鄣（fx，y0）鄣x｜x=x0=0同理可知鄣（fx0，y）鄣y｜y=y0=0，對（fx，y），則在點M（0x0，y0）存在極值的則必須具體如下條件：鄣（fx0，y0）鄣x=鄣（fx0，y0）鄣y=0所以df（x0，y0）=0。

　　（二）二元函數(shù)極值的定義分析

　　定義1假設函數(shù)z=（fx，y）在點（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)部有定義，對于該鄰域內(nèi)部不同于（x0，y0）的任意一點（x，y），如果（fx，y）（fx0，y0），那么稱函數(shù)在（x0，y0）有極小值；極大值、極小值統(tǒng)稱之為極值。使函數(shù)可以得到極值的點稱之為極值點。定理1（必要條件）假設函數(shù)z=（fx，y）在點（x0，y0）具有偏導數(shù)，而且在點（x0，y0）處有極值，那么它在該點的偏導數(shù)必然是零，即f（xx0，y0）=0，f（yx0，y0）=0。定理2（充分條件）假設函數(shù)z=（fx，y）在點（x0，y0）的某鄰域內(nèi)部有直到二階的連續(xù)偏導數(shù)，又f（xx0，y0）=0，f（yx0，y0）=0。令fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C（1）那么AC-B2>0時，函數(shù)（fx，y）在（x0，y0）處有極值，而且那么當A>0時有極小值（fx0，y0）；A<0時有極大值（fx0，y0）；（2）那么當AC-B2<0時，函數(shù)（fx，y）在（x0，y0）處沒有極值；（3）那么當AC-B2=0時，函數(shù)（fx，y）在（x0，y0）處可能有極值，也可能沒有極值。

　　三、函數(shù)極值在高等數(shù)學中的應用方式

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　　假設成本函數(shù)是C=C（Q）平均成本函數(shù)是C（Q）=C（Q）QC（′Q）=C（′Q）Q-C（Q）Q2若使平均成本在Q0處可以得到極小值，應有C（′Q0）=0，即C（′Q0）Q0-C（Q0）=0，C（′Q0）=C（′Q0）例2假設某產(chǎn)品的成本函數(shù)是C（Q）=14Q2+3Q+400（萬元），問產(chǎn)量是多少時，該產(chǎn)品的平均成本最小？求最小平均成本。解：平均成本函數(shù)是C（Q）=14Q+3+400QQ∈（0，+∞）C（′Q）=14-400Q2令C（′Q）=0，得駐點Q=40，由C（″Q）=800Q3>0可知C（Q）在Q=40處有極小值，且是（0，+∞）內(nèi)部的唯一極值，即是最小值。C（Q）=14*40+3+40040=23（萬元）所以：產(chǎn)量是40單位時，成本應該是23萬元/單位。例3假如又一個長方體的整體容積為V，如果要設計用料最少？這一題目的要求也就是達到材料的最小化的內(nèi)容，達到建造長方體盒子的目的。解：假設長度為X，寬是y，那么高是Vxy，整體面積為：S=2（xy+Vx+Vy）.這是關于x，y的二元函數(shù)。定義域是D=（鄣∈x，y）｜x>0，y>0.由鄣S鄣x=2（y-Vx2），鄣S鄣y=2（x-Vy2），得駐點（V3姨，V3姨），駐點就是S；當x=y=z=V3姨時，函數(shù)S可以得到最小值236V時，所使用的材料最少。

　?。ǘ┕S常規(guī)的利潤最大化的計算途徑

　　如果假設函數(shù)R（Q）是企業(yè)的收益，函數(shù)是C（Q）是企業(yè)的最少成本，由此計算，工廠在常規(guī)的生產(chǎn)過程中，怎樣實現(xiàn)最高的利潤，函數(shù)為：L（Q）=R（Q）-C（Q）L（′Q）=R（′Q）-C（′Q）是使利潤達到最大，其L（′Q）=0，有R（′Q）=C（′Q）例1某一企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的整體需求函數(shù)為Q，問：企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量和價格達到多少時，該企業(yè)的商品的成本可以達到C（Q）=5Q+200（萬元），收益為：R（Q）=10Q-0.01Q（2萬元），問：利潤達到最大化如果用材？解：L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200Q∈（0，+∞）L（′Q）=5-0.02Q令L（′Q）=0，得駐點Q=250（臺），由L″（Q）=-0.02<0知函數(shù)有極大值，即L（250）=425（萬元）由于上解題思路可以得到，250臺以上企業(yè)才能使利潤達到425萬的最大值。例2某一企業(yè)整體需求函數(shù)為P=240-0.2Q，計算其成本函數(shù)則可以為，C（Q）=80Q+2000（元），問：產(chǎn)品利潤最大化同時計算出最大利潤？解：收益函數(shù)是R（Q）=P（Q）=Q（240-0.2Q）=240Q-0.2Q2Q∈（0，+∞）利潤函數(shù)是L（Q）=160Q-0.2Q2-2000L（′Q）=160-0.4Q令L（′Q）=0，得駐點Q=400，由L（″Q）=-0.4<0由此可以得到函數(shù)在Q=400處可以得到極大值，由此可以得到，L（400）=160×400-0.2×4002-2000=30000，P=240-0.2×400=160（元）因此那么當產(chǎn)量是400單位，價格是160/單位時，最大利潤是30000元。

　　四、結束語

　　函數(shù)極值在現(xiàn)實生活中有很多的應用價值，特別是函數(shù)極值在高等數(shù)學中的應用更為廣泛。通過函數(shù)極值相關理論和實用中的變化情況，能夠獲得解決問題的最佳策略，特別是通過對極值的分析和運用，能夠把握經(jīng)濟市場形勢下獲得最佳的經(jīng)濟效益。通過探究函數(shù)極值與現(xiàn)實生活的密切關系，和實際生活存在十分密切的聯(lián)系，以及函數(shù)極值的理論在高等數(shù)學中的應用，在解決生活中遇到的各種問題時，我們能夠?qū)⒆约核鶎W習到的數(shù)學知識運用其中，進而可以有效地解決多種難題。經(jīng)過以上討論，我們可以總結出，在函數(shù)的極值的求值過程中，常規(guī)需要解決其最大和最小值問題之間的關系，特別是在實際問題解決中，要根據(jù)所遇到的實際問題，一方面要判斷其最大值和最小值是否存在，另一方面要根據(jù)所一致的條件比較及復雜條件和充分條件判斷最終的方法和結果。在這個過程中必須要結合二元函數(shù)的基本概念和相關理論，同時運用偏導數(shù)的概念和計算方法，在運用過程中，要將一元函數(shù)和二元函數(shù)進行比較和對照，弄清之間的區(qū)別和相互聯(lián)系，看看兩者之間的差異性，以及兩者之間存在的具體聯(lián)系，可以更好地理解和掌握一元函數(shù)和二元函數(shù)的內(nèi)涵以及增強實際運用能力，能夠在實際生活中運用一元函數(shù)和二元函數(shù)解決問題。

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　　葉美

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